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Assembly 浮點表示法

2018-11-01 09:55 更新

非整形的二進制數(shù)

在第一章討論數(shù)制的時候，我們只討論了整形。顯然，和十進制一樣，其它進制必須也能表示非整形數(shù)。在十進制中，在小數(shù)點右邊的數(shù)字關聯(lián)了10的負乘方值：

不必驚訝，二進制也是以同樣的方法表示：

這個辦法與第一章中的整形辦法相結合就可以用來轉換一個一般數(shù)值：

將十進制轉換成二進制也不是很難。一般來說，需將十進制數(shù)分成兩塊：整數(shù)部分和分數(shù)部分。使用第一章中的方法來將整數(shù)部分轉換成二進制。分數(shù)部分的轉換可以使用下面描述的方法。

考慮一個用a、b、c···標記比特位的二進制分數(shù)。這個數(shù)用二進制表示為：

0.abcdef...

將此數(shù)乘2.新得到的數(shù)的二進制表示將是：

a.bcdef...

注意，第一個比特位現(xiàn)在在權值為1的位置。用0替換a得到：

0.bcdef...

再乘以2得到：

b.cdef...

現(xiàn)在第二個比特位(b)在權值為1的位置。重復這個過程，直到得到了需要的盡可能多的比特位。圖6.1展示了一個實例：將0.5625轉換成二進制。這種方法當分數(shù)部分為0了才停止。

另一個例子，將23.85轉換成二進制。將整數(shù)部分

轉換成二進制是容易的，但是分數(shù)部分呢？圖6.2展示了這個計算的開始部分。如果你仔細看了這個數(shù)值，就會發(fā)現(xiàn)一個無限循環(huán)。這就意味著0.85是一個無限循環(huán)的二進制數(shù)(與基數(shù)為10的無限循環(huán)十進制數(shù)相對應)。這里顯示了這個數(shù)的計算模式。在這個模式中，你可以看到

。因此，

。

上面計算的一個重要結論是23.85不可以用有限的比特位來精確表示成二進制數(shù)。(就像

不能表示成有限的十進制數(shù)。)正如這一章展示的，C語言中的float和double變量是以二進制儲存的。因此，類似23.85的數(shù)值不能精確地儲存到這些變量中。只能儲存23.85的近似值。

為了簡化硬件，采用固定的格式來儲存浮點數(shù)。這種格式采用科學計數(shù)法(但是是在二進制中，是2的乘方,不是10)。例如，23.85或10111.11011001100110...?將儲存為：

(其中指數(shù)(100)是二進制形式)。規(guī)范的浮點數(shù)有下面的形式：

其中1:sssssssssssss是有效數(shù)而eeeeeeee是指數(shù)。

IEEE浮點表示法

IEEE(Institute of Electrical and Electronic Engineers，電氣與電子工程師學會)是一個國際組織，它已經設計了存儲浮點數(shù)的特殊的二進制格式。這種格式應用在大多數(shù)(但不是全部)現(xiàn)在的電腦上。通常電腦本身的硬件就支持它。例如，Intel的數(shù)學協(xié)處理器(從Pentium開始，就嵌入到所有它的CPU中了)就使用它。IEEE為不同的精度定義了不同的格式：單或雙精度。在C語言中，float變量使用單精度，而double變量使用雙精度。

Intel數(shù)學協(xié)處理器使用第三種，更高的精度，稱為擴展精度。事實上，在數(shù)學協(xié)處理器自身里的所有數(shù)據(jù)都是這種格式。當數(shù)據(jù)從協(xié)處理器儲存到內存中時，將自動轉換成單或雙精度。跟IEEE的浮點雙精度格式相比，擴展精度使用了一種有細微差別的格式，所以將不在這討論。

IEEE單精度

單精度浮點使用32個比特位來編碼數(shù)字。通常它精確到小數(shù)點后七位。相比于整數(shù)，浮點數(shù)的儲存格式更復雜。圖6.3展示了IEEE單精度數(shù)的基本格式。這種格式有幾個古怪的地方。負的浮點數(shù)并不使用補碼表示法。它們使用符號量值表示法。如圖顯示，第31位決定數(shù)的符號。二進制的指數(shù)并不會直接儲存。取而代之的是將指數(shù)和7F的和儲存到位23 30中。這個偏置指數(shù)總是非負的。

分數(shù)部分假定是一個規(guī)范的有效數(shù)(格式為1:sssssssss)。因為第一個比特位總是1,所以領頭的1是不儲存的！這就允許在后面儲存一額外的比特位，稍微地擴展了精度。這個想法稱為隱藏一的表示法。

怎樣儲存23.85呢？首你必須永遠記?。哼@些字先，它是個正數(shù)，所以符號位為0。其次，真實的指數(shù)為4,所以偏置指數(shù)為

。最后，分數(shù)部分應表示為01111101100110011001100 (記住領頭的1是隱藏的)。把這些放到一起得到(為了幫助澄清浮點格式的不同部分，符號位和分數(shù)部分都加了下劃線，而且所有的比特位都分成了四個比特位一組。)：

這不是準確的23.85(因為它是一個無限循環(huán)的二進制數(shù))。如果你將上面的數(shù)值轉換回十進制形式，你會發(fā)現(xiàn)它大約等于23.849998474。這個數(shù)與23.85非常接近，但是它并不準確。實際上，在C語言中，23.85的描述和上面的是一樣的。因為該數(shù)的精確描述被截去后的最左邊的位為1,所以最后一個比特位經四舍五入后為1。因此單精度數(shù)23.85將表示成十六進制41 BE CC CD。將這個轉換成十進制得23.850000381，這個數(shù)就更接近23.85。怎么描述-23.85呢？只需要改變符號位得：C1 BE CC CD。不要使用補碼！

IEEE浮點格式中，e和f 的某些組合有特殊的含義。表6.1描述了這些特殊的值。溢出或除以0將產生一個無窮數(shù)。一個無效的操作將產生一個不確定的結果，例如：試圖求一個負數(shù)的平方根，將兩個無窮數(shù)相加，等等。規(guī)范的單精度數(shù)的數(shù)量級范圍為從