每一個(gè)JavaScript開發(fā)者應(yīng)該了解的浮點(diǎn)知識(shí)

在JavaScript開發(fā)者的開發(fā)生涯中的某些點(diǎn)，總會(huì)遇到奇怪的BUG——看似基礎(chǔ)的數(shù)學(xué)問題，但卻又覺得有些不對(duì)勁?？傆幸惶?，你會(huì)被告知JavaScript中的數(shù)字實(shí)際上是浮點(diǎn)數(shù)。試圖了解浮點(diǎn)數(shù)和為什么他們?nèi)绱似婀?，迎接你的將是一片又臭又長的文章。本文的目的是給JavaScript開發(fā)者簡單講解浮點(diǎn)數(shù)。

本文假設(shè)讀者熟悉的用二進(jìn)制表示的十進(jìn)制數(shù)字（即1被寫成1b，2是10b，3是11b，4是100b……等）。為了使文章表達(dá)的更清楚，在本章中，“十進(jìn)制”主要是指計(jì)算機(jī)內(nèi)部的十進(jìn)制數(shù)字表示法（例如：2.718）?！岸M(jìn)制”在本文中指計(jì)算機(jī)內(nèi)部的表示。書面陳述將分別被稱為“以十為底″和“以二為底″。

浮點(diǎn)數(shù)

什么是浮點(diǎn)數(shù)，我們開始認(rèn)為我們見過各種數(shù)字，我可可以說1是一個(gè)整數(shù)，因?yàn)樗鼪]有分?jǐn)?shù)部分。

?被稱為分?jǐn)?shù)。這意味著，將一平均分開為二，分?jǐn)?shù)是浮點(diǎn)運(yùn)算中一個(gè)非常重要的概念。

0.5通常被稱為一個(gè)十進(jìn)制數(shù)。然而，有一個(gè)很重要的區(qū)別必須闡明——0.5實(shí)際上是分?jǐn)?shù)?的十進(jìn)制（以十為底）表示。本文中，我們將這種表示方法稱為點(diǎn)表示法。我們把0.5稱為有限表示（有限小數(shù)）因?yàn)槠浞謹(jǐn)?shù)表示的數(shù)字是有限的——5后面沒有其他數(shù)字。表示?的0.3333…是無限表示的例子。這個(gè)想法在我們的討論非常重要。

還存在另一種表示全部整數(shù)，分?jǐn)?shù)或小數(shù)的方法。你可能已經(jīng)見過。它看起來像這樣：6.022×1023（注：這是阿伏伽德羅數(shù)，這是摩爾的化學(xué)溶液中的分子的數(shù)目）。它通常被稱為標(biāo)準(zhǔn)形式，或科學(xué)記數(shù)法。形式可以被抽象為像下面這樣：

D1.D2D3D4...Dp x BE

這種通用形式被稱作浮點(diǎn)數(shù)。

由p和D組成的序列——D1.D2D3D4...Dp——被稱為有效數(shù)字或尾數(shù)。p是有效數(shù)字的權(quán)重，通常稱為精度。有效數(shù)后的x是符號(hào)的一部分（本文中的乘法符號(hào)，將用*表示）。其后是基數(shù)，基數(shù)后是指數(shù)。該指數(shù)可以是正或負(fù)。

浮點(diǎn)數(shù)的好處是它可以用來表示任何數(shù)值。例如，整數(shù)1可以表示為1.0×10^0。光的速度可以表示為2.99792458×108 m/s。1/2可以被表示為二進(jìn)制形式0.1×2^0。

移除小數(shù)點(diǎn)

在上面的例子中，我們?nèi)匀槐Ａ粜?shù)點(diǎn)（小數(shù)點(diǎn)在數(shù)字里面）。當(dāng)用二進(jìn)制表示數(shù)值的時(shí)候，這帶來了一些問題。任意給定一個(gè)浮點(diǎn)數(shù)，比如π（PI），我們可以將其表示為一個(gè)浮點(diǎn)數(shù)：3.14159 x 100。用二進(jìn)制表示，它看起來像這樣：11.00100100 001111……假設(shè)在十六位機(jī)里表示數(shù)字，這意味著數(shù)字被放在機(jī)器里會(huì)是這樣的：11001001000011111?，F(xiàn)在的問題是：小數(shù)點(diǎn)應(yīng)該放在哪里？這甚至不涉及指數(shù)（我們默認(rèn)基數(shù)為2）。

如果數(shù)字變?yōu)?code>5.14159？整數(shù)部分將變?yōu)?code>101而不是11，增加了一位。當(dāng)然，我們可以指定字段的前N位屬于整數(shù)部分（即小數(shù)點(diǎn)的左邊），其余屬于小數(shù)部分，但那是另一篇關(guān)于定點(diǎn)數(shù)的話題。

一旦我們移除小數(shù)點(diǎn)后，我們只有兩件東西需要記錄：指數(shù)和尾數(shù)。我們可以通過應(yīng)用變換公式將小數(shù)點(diǎn)移除，使廣義浮點(diǎn)數(shù)看起來像這樣：

D1D2D3D4...Dp / (Bp-1) x BE

這就是我們得到的大多數(shù)二進(jìn)制浮點(diǎn)數(shù)。注意，現(xiàn)在有效數(shù)是一個(gè)整數(shù)。這使得它更易于存儲(chǔ)一個(gè)浮點(diǎn)數(shù)在機(jī)器上。事實(shí)上，應(yīng)用最廣泛的二進(jìn)制浮點(diǎn)數(shù)表示方法是IEEE 754標(biāo)準(zhǔn)。

IEEE 754

JavaScript中的浮點(diǎn)數(shù)采用IEEE-754格式的規(guī)定。更具體的說是一個(gè)雙精度格式，這意味著每個(gè)浮點(diǎn)數(shù)占64位。雖然它不是二進(jìn)制表示浮點(diǎn)數(shù)的唯一途徑，但它是目前最廣泛使用的格式。該格式用64位二進(jìn)制表示像下面這樣：

你可能注意到機(jī)器表示的方法和約定俗成的書面表示一點(diǎn)不同。在64位中，1位用于標(biāo)志位——用來表示一個(gè)數(shù)是正數(shù)還是負(fù)數(shù)。11位用于指數(shù)–這允許指數(shù)最大到1024。剩下的52位代表的尾數(shù)。如果你曾經(jīng)好奇為什么JavaScript中的某些東西如+0 和 -0，標(biāo)志位說明一切——JavaScript中的所有數(shù)字都有符號(hào)位。Infinity和NaN也被編碼進(jìn)浮點(diǎn)數(shù)——2047作為一個(gè)特殊的指數(shù)。如果尾數(shù)是0，它是一個(gè)正無窮或負(fù)無限。如果不是，那么它是NaN。

舍入誤差

有了上面對(duì)浮點(diǎn)數(shù)進(jìn)行介紹，現(xiàn)在我們進(jìn)入了一個(gè)更棘手的問題–舍入誤差。它是所有開發(fā)者使用浮點(diǎn)數(shù)開發(fā)的禍根，JavaScript開發(fā)者尤其如此，因?yàn)镴avaScript開發(fā)者唯一可用的編號(hào)格式是浮點(diǎn)數(shù)。

上面提到的分?jǐn)?shù)?不能在以10為底中有限表示。這實(shí)際上在任何數(shù)制中都存在。例如，在在以二為底的數(shù)字中，1 / 10不能有限表示。被表示為0.00110011001100110011……注意0011是無限重復(fù)的。這是因?yàn)檫@個(gè)特別的怪癖，舍入誤差造成的。

先看一個(gè)舍入誤差的例子?？紤]一個(gè)最著名的無理數(shù)，PI：3.141592653589793……大多數(shù)人記得前五位（3.1415）非常棒——我們將使用這個(gè)例子說明舍入誤差，因此可以計(jì)算舍入誤差：

(R - A) / Bp-1 ……其中`R`代表圓形的半徑，`A`代表一個(gè)實(shí)數(shù)。`Bp`代表以`p`為底的精度。所以謹(jǐn)記PI的舍入誤差：`0.00009265……`。

雖然這看起似乎不是很嚴(yán)重，讓我們試著用以二為底的數(shù)來檢驗(yàn)這個(gè)想法。考慮分?jǐn)?shù)1 / 10。在十進(jìn)制，它被寫作0.1。在二進(jìn)制中，它是：0.00011001100110011……假設(shè)我們僅保留5位尾數(shù)，可以寫為0.0001。但0.0001在二進(jìn)制表示法中實(shí)際是1 / 16（或0.0625）的表示！這意味著有舍入誤差為0.0375，這是相當(dāng)大的。想象一下基本的加法運(yùn)算，如0.1 + 0.2，答案返回0.2625！

幸運(yùn)的是，浮點(diǎn)規(guī)范指定ECMAScript最多使用52個(gè)尾數(shù)，所以舍入誤差變得很小——規(guī)范的具體細(xì)節(jié)規(guī)避了大部分的舍入誤差。因?yàn)閷?duì)浮點(diǎn)數(shù)進(jìn)行算術(shù)運(yùn)算的過程中誤差會(huì)被放大，IEEE 754規(guī)范還包括用于數(shù)學(xué)運(yùn)算的具體算法。

然而，應(yīng)該指出的是，盡管如此，算術(shù)運(yùn)算的關(guān)聯(lián)屬性（比如加法，減法，乘法和減法）不能得到保證在處理浮點(diǎn)數(shù)時(shí)，即使精度再高。我的意思是，（（x + y）+ A + B）不一定等于（（x + y）+（A + B））。

這是JavaScript開發(fā)人員的禍根。例如，在JavaScript中，0.1 + 0.2 = = = 0.3將返回假。我希望你現(xiàn)在明白這是為什么。更糟的是，事實(shí)上，舍入誤差會(huì)在連續(xù)的數(shù)學(xué)運(yùn)算中增加（積累）。

在JavaScript處理浮點(diǎn)數(shù)

設(shè)計(jì)處理JavaScript數(shù)字的問題，已經(jīng)存在很多的建議，好壞參半。大多數(shù)這些建議都是在算數(shù)運(yùn)算之前或之后完成取舍。

到目前位置我見過的寥寥無幾的建議就是把運(yùn)算數(shù)全部存儲(chǔ)為整數(shù)（無類型），然后格式化顯示。通過一個(gè)例子可以看出，在賬戶中大量儲(chǔ)存的美分而不是美元（不知道舉的例子是什么賬戶）。這里有一個(gè)值得注意的問題——不是世界上所有的貨幣都是十進(jìn)制的（毛里求斯幣：毛里求斯盧比是毛里求斯共和國的流通貨幣。幣值有25、50、100、200、500、1000和2000。輔幣單位為分）。同時(shí)，吐槽了日元和人名幣……。最終，你會(huì)重新創(chuàng)建浮點(diǎn)——有可能。

我見過處理浮點(diǎn)數(shù)最好的建議是使用庫，像sinfuljs或mathjs。我個(gè)人比較喜歡mathjs（但實(shí)際上，任何和數(shù)學(xué)相關(guān)的我甚至不會(huì)使用JavaScript去做）。當(dāng)需要任意精度數(shù)學(xué)計(jì)算的時(shí)候，BigDecimal也是非常有用的。

另一個(gè)被多次重復(fù)的建議是使用內(nèi)置的toPrecision()和toFixed()方法。使用他們時(shí)最容易犯得邏輯錯(cuò)誤是忘記這些方法的返回值字符串。所以如果你像下面這樣會(huì)得不到想要的結(jié)果：

function foo(x, y) {
    return x.toPrecision() + y.toPrecision()
}

> foo(0.1, 0.2)
"0.10.2"

設(shè)計(jì)內(nèi)置方法toPrecision()和toFixed()的目的僅是用于顯示。謹(jǐn)慎使用！

結(jié)論

JavaScript中的數(shù)字是真正的浮點(diǎn)數(shù)。由于二進(jìn)制表示的固有缺陷，以及有限的機(jī)器空間，我們不得不面對(duì)一個(gè)充滿舍入誤差的規(guī)范。本文解釋了為什么這些舍入誤差是什么和為什么。記住使用一個(gè)很棒的庫而不是自己去做一切。

注

原文：http://flippinawesome.org/2014/02/17/what-every-javascript-developer-should-know-about-floating-points/